4³= 4×4×4
4 exposant 3 est égale à quatre qui se multiplie trois fois.
9²= 9×9
9 exposant 2 est égale à neuf qui se multiplie deux fois.
Exposant d’un nombre est un nombre placé en haut à droite de ce nombre pour indiquer combien de fois le nombre va se multiplier.
4³= 64; puissance de 4 exposant 3 est égale à 64.
4 est appelé base et 3 l’exposant.
9²= 81; puissance de 9 exposant 2 est égale à 81.
9 est appelé base et 2 l’exposant.
La puissance d’un nombre est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre par lui-même un certain nombre de fois.
Exemple:
$$5^2= 5 × 5=> 5^2= 25$$$$2^4= 2 × 2 × 2 × 2 => 2^4= 16$$$$(\frac{-2}{3})² = \frac{-2}{3} × \frac{-2}{3} × \frac{-2}{3} =>$$$$\frac{-2×(-2)×(-2)}{3×3×3} = \frac{-8}{27}$$Écrivez sous la forme de puissance:
$$a)\ 5×5×5×5×5×5=5^6$$$$b)\ 18×18×18×18=18^4$$$$c)\ 3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3=3^{12}$$$$d)\ (−6)×(−6)×(−6)×(−6)×(−6)=(−6)^5$$$$e)\ b×b×b×b×b×b×b×b×b×b×b×b×b×b=b^{14}$$Attention! Si l’exposant est “un ou zéro”, il y a d’autres pour eux.
Tout nombre exposant 1 est égale au nombre lui-même, (car le nombre se présente une seule fois).
Tout nombre exposant 0= 1.
$$4^1= 4;\ \ \ 75^1= 75;\ \ 103^1= 103\ \\4^0= 1;\ \ 80^0=1;\ \ 103^0=1$$Toute puissance d’un nombre positif est un nombre positif.
$$Exemple: 3^3= 27. \\Car, 3^3=3×3×3$$Toute puissance, d’exposant pair, d’un nombre négatif est un nombre positif.
$$Exemple: (-5)^4= 625\ \\ (-5)^4=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)$$Toute puissance d’exposant impair, d’un nombre négatif est un nombre négatif.
$$Exemple: (-5)^3 = -125\ \\(-5)^3= (-5)×(-5)×(-5)$$Quand on multiplie 2 nombres, leurs exposant s’additionnent:
$$a^m×a^n=a^{m+n}$$$$A=\ a^3 × b^7 × a^{-6} × b^{-6}×a\\ A= a^{3-6+1}×b^{7-6}\\ A=a^{-2}×b$$$$B= 2^4 × 2 × 2^6\\ B=2^{4+1+6}\\ B= 2^{11}$$$$C= 3^5 × 3 × 3^2\\ C= 3^{5+1+2}\\ C= 3^8$$$$D= 4× 4^4×4^{10}\\ D= 4^{1+4+10}\\ D= 4^{15}$$$$E= x^2×x^{-3}×x\\ E= x^{2-3+1}\\ E=0$$$$F= 3^5×3×3^2\\ F= 3^{5+1+2}\\ F= 3^8$$$$G= b×b×b^2\\ G= b^{1+1+2}\\ G= b^4$$Quand on divise 2 nombres, leurs exposant se soustraient:
$$\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}$$Calculez et simplifiez:
$$a)\ \frac{2^3}{2^6}×\frac{3^8}{3^4}×\frac{5^7}{5}=$$$$2^{-3}× 3^4×5^6=$$$$0.125×81×15\ 626= 158\ 213.25$$$$b)\ \frac{5^2}{2^4}×\frac{7^3}{2^5}×\frac{8}{7^3}=$$$$\frac{25}{16}×\frac{343}{32}×\frac{8}{343}=$$$$\frac{25×343×8}{16×32×343}=$$$$\frac{25×8}{16×32}= \frac{200}{512}$$$$\frac{200÷16}{512÷16}= \frac{25}{32}$$Les puissances de dix:
$$10^1=10\\$$$$10^2= 100\\$$$$10^3= 1 000\\$$$$10^4= 10 000\\$$$$ainsi\ de\ suite.$$Pour multiplier un nombre entier par 10 exposant n, ajoute n zéros à droite de ce nombre.
$$Exemple:$$$$23×10^3= 23\ 000$$$$4×10^2= 400\\ 532×10^5= 53\ 200\ 000\\$$$$457×10^3= 457\ 000$$Pour multiplier un nombre décimal par 10 exposant n, on déplace la virgule n rang vers la droite (s’il n y a pas assez de chiffres, ajoutez des zéros et après on peut supprimer les zéros après la virgule).
$$43,25×10^2= 4\ 325$$$$6,5454×10^3=6545,4$$$$45,7×10^2= 4570$$$$74,55×10^4= 745\ 500$$Importances des exposants
Les exposants sont également inventés et utilisés pour gérer des grands nombres difficiles à énumérer et pour représenter des mesures de manière compacte et significative, notamment pour les surfaces, volumes, et d’autres concepts. Voici une explication avec des exemples.
Énumération des grands nombres
Lorsque les nombres deviennent trop grands pour être écrits ou comptés facilement, les exposants simplifient leur représentation.
Par exemple :
- $$10^6 = 1\,000\,000106 (un\ million)$$
- $$10^9 = 1\,000\,000\,000 (un\ milliard).$$
Cela est particulièrement utile en astronomie ou en physique, où les distances ou les masses sont gigantesques.
Par exemple :
- $$La\ distance\ entre\ la\ Terre\ et\ le\ Soleil\ est\ environ\ 1.496×10^8 kilomètres.$$
- $$La\ masse\ du\ proton\ est\ 1.67×10^{−27} kilogrammes.$$
Mesures avec les exposants
Les exposants permettent également de simplifier les calculs de mesures complexes. Voici comment :
- Exposant 2 pour les surfaces
L’aire d’un carré, par exemple, est calculée avec un exposant 2 :
- Si le côté du carré mesure 5 mètres, son aire est 5²= 25 m².
- Cela s’applique aussi à d’autres formes géométriques comme les rectangles ou les cercles.
- Exposant 3 pour les volumes
Le volume d’un cube est calculé avec un exposant 3 :
- Si le côté du cube mesure 4 cm, son volume est 4³= 64 cm³
- De même, les volumes des sphères, cylindres, et autres solides utilisent des exposants pour exprimer des unités cubiques.
- Autres applications
Les exposants sont également utilisés dans des domaines comme :
-
L’énergie : E=mc² où c² représente la vitesse de la lumière au carré.
-
La finance : Les intérêts composés suivent une formule exponentielle.
-
L’informatique : La mémoire et le stockage suivent des puissances de 2, par exemple:
$$2^{10}=1024.$$
-
Exemples pratiques
- La superficie d’un terrain rectangulaire de 50 m sur 30 m :
Aire=50×30= 1 500 m² - Un réservoir cubique de 2 m de côté :
Volume= 2³= 8 m³
