On appelle « produits remarquables » ou « identités remarquables », tout exercice qui ressemble à: (a+b)², (a-b)² et (a+b)(a-b), par exemple: (x+1)², (y-2)², (t-2)(+2).
Développer ces formules
Univers mathématiques page 27
Mathématiques Nouvelles page 64
Pour les effectuer, vous pouvez utiliser ces formules ci-dessous. (a+b)²= a²+2ab+b² (a-b)²= a²-2ab-b² (a+b)(a-b)= a²-b²
Comment fait-on pour développer ces formules ainsi? Voici comment: (et si vous oubliez les lecons précédentes, vous pouvez faire comme suivant) quand on a un terme au carré, c’est qu’on l’écrire multiplié par soi-même, donc:
(a+b)²= (a+b)(a+b) => a×a=a²; a×b=ab; b×a=ab; bxb=b²; sachant qu’on a ab deux fois, on peut écrire « a²+2ab+b² »
(a-b)²= (a-b)(a-b) => a×a=a²; ax(-b)=-ab; -bxa=-ab; -bx(-b)=b²; on a -ab deux fois, on peut écrire « a²-2ab+b²
(a+b)(a-b)= a²-ab+ab-b², simplifions ab, nous restons a²-b²
Univers Mathématiques p. 27
F1. Développez chaque expression en utilisant les produits remarquables:
a)
(x+1)²= formule: a²+2ab+b² => x²+2(x×1)+1² => x²+2x+1 (sachant qu’on n’a pas besoin d’écrire les signes multiplier entre les lettres er chiffres, je les écris juste pour les explications. Ecrivez le chiffre, ensuite les lettres, ex: y×2=2y.
(t-2)(t+2)= formule: a²-b² => t²-2² => t²-4
(y-2)²= formule: a²-2ab+b² => y²-2(y×2)+2² => y²-2y×2+4 => y²-4y+4
Vous pouvez les effectuer une autre façon:
a)
(x+1)²=(x+1)(x+1) => x²+x+x+1 => x²+2x+1
(t-2)(t+2)= t²+2t-2t-2² => t²-4
(y-2)²= (y-2)(y-2) => y²-2y-2y-2² => y²-4x+4
b)
(3x-5)²= formule: a²-2ab+b² => (3x)²-2(3x)5+5² => 9x²-6x×5+25 => 9x²-30x+25
(3x+5)²= formule: a²+2ab+b² => (3x)²+2(3x)5+5² => 9x²+6x×5+25 => 9x²+30x+25
(3x-5)(3x+5)= formule: a²-b² => (3x)²-5² => 9x²-25
c)
(3x-1/3)²= fomule: a²-2ab+b² => (3x)²-2(3x)(1/3)+(1/3) => 9x²-6x×1/3+(1/3)² => 9x²-6x/3+1²/3² => 9x²-2x+1/9
(1/3-3x)²= formule: a²-2ab+b² => (1/3)²-2(1/3)(3x)+(3x)² => 1²/3²-2×1/3×3x+(3x)² => 1/9-2/3×3x+9x² => 1/9-6x/3+9x² => 1/9-2x+9x². Vous pouvez l’ordonner ainsi: 9x²-2x+1/9
(-1/8-4x)²= formule: a²-2ab+b² => (-1/8)²-2(1/8)(4x)+(4x)² => 1²/8²-2/8×4x+16x² => 1/64-8x/8+16x² => 1/64-x+16x². Vous pouvez ordonner ainsi: 16x²-x+1/64
d)
(x²+1)²= formule: a²+2ab+b² => (x²)²+2×(x²)(1)+1² => x2×2+2×1×(x²)+1² => x4+2x²+1
(x²-1)²= formule: a²-2ab+b² => (x²)²-2(x²)(1)+1² =>2x²+1
(x²-1)(x²+1)= formule: a²-b² => (x²)²-1² => x4-1
e)
(4x-1)²= formule: a²-2ab+b² => (4x)²-2(4x)(1)+1² => 16x²-8x+1
(7-3x)(7+3x)= formule: a²-b² => 7²-(3x)² => 49-9x² on peut l’ordonner: -9x²+49
(3x-6)(3x+6)= formule: a²-b² => (3x)²-6² => 9x²-36
on peut en résoudre comme la distributivité aussi.
(3x-6)(3x+6)= 9x²+18x-18x-36 => 9x²-36
f)
(z/2+1)²= formule: a²+2ab+b² => (z/2)²+2(z/2)(1)+1² => z²/4+2z/4×1+1 => z²/4+2z/4+1
(8-3x)(8+3x)= formule: a²-b² => 8²-(3x)² => 64-9x² ordonné: -9x²+64
(3x-8)(3x=8) = formule: a²-b² => (3x)²-8² => 9x²-64
F2. Le carré de la différence de deux nombres est égal à la somme de leurs carrés diminuée du double produit. en désignant par a et b ces deux nombres, traduisez par une égalité la phrase ci-dessus. Le résultat énoncé est-il vrai quels que soient les valeurs a et b?
(a-b)² = a²+b²-2ab. Et oui, cette égalité est vraie pour n’importe quelles valeurs de a et b.
(Comment expliquer ça? voilà: en désignant par a et b deux nombres, le carré de la différence de ces deux nombres (a-b)², est égal à la somme de leurs carrés =a²+b², diminuée du double produit -2ab, ce qui donne: (a-b)² = a²+b²-2ab ça peut écrire aussi: (a-b)² = a²-2ab+b²)
F3. un carré a pour côté x, on augmente le côté de a. Exprimez en fonction de x et de a de l’aire.
L’aire d’un carré est donnée par la formule Aire = côté multiplié par côté, ou encore côté au carré => Airre= c², dans le cas où « c » représente la longueur d’un côté du carré.
Si on augmente la longueur du côté de a, alors la nouvelle longueur du côté devient (x+a) et l’aire du nouveau carré sera A = (x+a)²
En développant (x+a)², on obtient A=x²+2ax+a².
Si on connait les valeurs de x et de a, on pourrait continuer le calcul en remplaçant les lettres par leurs valeurs.
F4. Développez et réduisez les expresions suivantes:
a) (a+b)²-(a-b)² = a²+2ab+b² – a²-2ab+b² => a²-a² = 0; 2ab-2ab = 0; b²+b² = 2b² => 2b²
b) (3a-2b)²+(3a+2b)² = 9a²-2(3a)(2b)+(2b)² + 9a²+2(3a)(2b)+(2b)² =>9a²-12ab+4b² + 9a²+12ab+4b² => 9a²+9a²+12a²-12a²+4b²+4b² => 18a²+8b²
c) (m+n)² – (m-n)² + (m+n)(m-n) = m²+2mn+n² – m²-2mn-n² + m²-n² => m²-m²+m² + 2mn-2mn + n²-n²-n² => m²-n²
d) (2x+1)² + 2(4x²-1) + (2x-1)²= (2x)²+2(2x)(1)+1² + 8x²-2 + (2x)²-2(2x)(1)+1² => 4x²+4x+1 + 8x²-2 + 4x²-4x+1 => 4x²+8x²+4x² + 4x-4x +1-2+1 => 16x²
Quand on écrit: 2(3), ça égal à 2×3, quand tu vois un nombre devant une parenthèse, ça signifie que ce nombre multiplie tous les nombres à l’intérieur de la parenthèse.
Vous pouvez continuer à effectuer les autres exercices concernant produit remarquable dans votre livre de la même façon, en utilisant les formules ci-dessus.
Problèmes sur produits remarquables page 28
P1. Choisis (au hasard) un nombre puis un deuxième. Puis écris le troisième qui est égal à la somme des deux premiers; le quatrième qui vaut la somme du deuxième et du troisième; et ainsi de suite… jusqu’au sixième. a) Fais ensuite la somme des six nombres obtenus: elle vaut 4 fois le cinquième nombre de la liste. Est-ce toujours vrai quels que soient les deux premiers nombres choisis? Explique pourquoi. b) Montre de même que la somme des dix premiers nombres d’une telle liste vaut 11 fois le septième.
Résolution
D’accord, commençons avec deux nombres au hasard : Premier nombre : 3 Deuxième nombre : 5
Maintenant, construisons la liste en ajoutant les nombres suivants comme indiqué :
Troisième nombre : 3 + 5 = 8 Quatrième nombre : 5 + 8 = 13 Cinquième nombre : 8 + 13 = 21 Sixième nombre : 13 + 21 = 34
Maintenant, faisons la somme des six nombres obtenus :
3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 = 84
Le cinquième nombre de la liste est 21. Donc, selon l’énoncé, la somme des six nombres devrait être égale à 4 fois 21, soit 84. Vérifions si c’est le cas :
4 × 21 = 84
Effectivement, la somme des six nombres obtenus est bien égale à 4 fois le cinquième nombre de la liste.
Maintenant, pour la partie (b) :
Si nous continuons la séquence en ajoutant les nombres suivants, nous obtenons :
Septième nombre : 21 + 34 = 55 Huitième nombre : 34 + 55 = 89 Neuvième nombre : 55 + 89 = 144 Dixième nombre : 89 + 144 = 233
Maintenant, faisons la somme des dix premiers nombres de la liste :
3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 = 605
Le septième nombre de la liste est 55. Donc, selon l’énoncé, la somme des dix premiers nombres devrait être égale à 11 fois 55, soit 605. Vérifions si c’est le cas :
11 × 55 = 605
Effectivement, la somme des dix premiers nombres obtenus est bien égale à 11 fois le septième nombre de la liste. Donc, il est vrai quel que soit les deux premiers nombres choisis.
Mathématiques Nouvelles p. 64
Développements
19. Soit x un réel. Complétez: (x+7)²= formule: a²+2ab+b² => x²+2x×7+7² => x²+14x+49 (x+10)²= formule: a²+2ab+b² => x²+2x×10+10² => x²+20x+100 (x+2)²= formule: a²+2ab+b² => x²+2x×2+2² => x²+4x+4 (x-5)²= formule: a²-2ab+b² => x²-2x×5+5² => x²-10x+25 (x-3/5)²= formule: a²-2ab+b² => x²-2×3/5x+(3/5)² => x²-6/5x+9/25 (x-3)²= formule: a²-2ab+b² => x²-2x×3+3² => x²-6x+9 (x+5)(x-5)= formule: a²-b² => x²-5² => x²-25 (x-1)(x+1)= formule: a²-b² => x²-1² => x²-1 (x+3/7)(x-3/7)= formule: a²-b² => x²-(3/7)² => x²-9/49 (x-2/5)(x+2/5)= formule: a²-b² => x²-4/25
20. Soit x un réel, développez les réels suivants:(5+x)²= formule: a²+2ab+b² => 5²+2(5x)+x² => 25+10x+x² (x-2)²= formule: a²-2ab+b² => x²-2(2x)+2² => x²-4x+4 (x-7)(x-7)= formule: a²-b² => x²-7² => x²+49 (x-2,3)= formule: a²-2ab+b² => x²-2(2,3x)+(2,3)² => x²-4,6x+5,29 (x+4,5)²= formule: a²+2ab+b² => x²+2(4,5x)+(4,5)² => x²+9x+20,25 (x+9)²= formule: a²+2ab+b² => x²+2(9x)+9² => x²+18x+18
Et s’il y avait une fraction, comment aurait-on en effectuer? (x-2/3)²= formule: a²-2ab+b² => x²-2(2/3x)+(2/3)² => x²-4/3x+4/9
Quand on écrit: 2(3), ça égal à 2×3, quand tu vois un nombre devant une parenthèse, ça signifie que ce nombre multiplie tous les nombres à l’intérieur de la parenthèse.
Vous pouvez continuer à effectuer les autres exercices concernant produit remarquable dans votre livre de la même façon, en utilisant les formules ci-dessus.
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