C’est quoi PPMC?
C’est quoi PGCD?
Exercices
PPMC: plus petit multiple commun, c’est le plus petit élément non nul de l’ensemble des multiples communs. (Vous aurez besoin d’eux pour effectuer les fractions).
Exemple: pour les entiers 6 et 9 le plus petit multiple commun est 18. Voici pourquoi:
Les multiples de 6 sont: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72…
On obtient les multiples de 6 en multipliant 6 par des nombres entiers. Voici quelques exemples :
6 × 1 = 6
6 × 2 = 12
6 × 3 = 18
6 × 4 = 24
6 × 5 = 30
6 × 6 = 36
6 × 7 = 42
6 × 8 = 48
6 × 9 = 54
6 × 10 = 60
Les multiples de 9 sont: 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90…
Les multiples de 9 sont obtenus en multipliant 9 par des nombres entiers. Voici quelques exemples :
9 × 1 = 9
9 × 2 = 18
9 × 3 = 27
9 × 4 = 36
9 × 5 = 45
9 × 6 = 54
9 × 7 = 63
9 × 8 = 72
9 × 9 = 81
9 × 10 = 90
Les multiples communs entre 6 et 9 sont: 0, 18, 36, 54, 72 et autres, on va prendre le plus petit qui n’est pas nul, donc, c’est 18, car 0 est nul.
Trouver le PPMC entre deux entiers naturels
2×2×3= 18
Le ppmc de 6 et 9 est 18.
2×2×2×3= 24 Donc, le ppmc de 12 et 8 est: 24.
Trouver le PGCD entre deux entiers naturels
C’est quoi le PGCD? PGCD: plus grand diviseur commun, c’est le plus grand élément de l’ensemble des diviseurs communs.
Exemple: pour les entiers 30 et 45 le plus grand diviseur commun est 15. Voici pourquoi:
Les diviseurs de 30 sont: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Voici pourquoi:
30 ÷ 1 = 30
30 ÷ 2 = 15
30 ÷ 3 = 10
30 ÷ 5 = 6
30 ÷ 6 = 5
30 ÷ 10 = 3
30 ÷ 15 = 2
30 ÷ 30 = 1
Les diviseurs de 45 sont: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Voici pourquoi:
45 ÷ 1 = 45
45 ÷ 3 = 15
45 ÷ 5 = 9
45 ÷ 9 = 5
45 ÷ 15 = 3
45 ÷ 45 = 1
Les diviseurs communs sont ceux présents dans les deux listes: 1, 3, 5, 15. Le plus grand c’est 15, donc, le PGCD de 30 et 45 est 15.
Exercices
(Mathématiques Nouvelles 8e page 23)
1- Citez les multiples communs différents de zéro: de 4 et 7; de 8 et 14. Quel est le plus petit?
a) Pour 4 et 7 : Les multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36… Les multiples de 7 : 7, 14, 21, 28, 35, 42,… Les multiples communs de 4 et 7 sont: 28, 56, 84, 112… Le plus petit multiple commun est 28.
b) Pour 8 et 14 : Les multiples de 8 : 8, 16, 24, 32, 40, 48,… Les multiples de 14 : 14, 28, 42, 56, 70, 84,… Les multiples communs de 8 et 14 sont: 56, 112, 168,… Le plus petit multiple commun est 56.
2- Calculez le p.g.c.d et le p.p.m.c des nombres 48 et 84. Constatez ensuite que si l’on multiplie le p.g.c.d par le p.p.m.c, on trouve le même produit que si l’on multiplie 48 par 84.
Pour le pgcd: Les diviseurs de 48 sont: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Les diviseurs de 84 sont: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84. Les diviseurs communs de 48 et 84 sont: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le pgcd de 48 et 84 est: 12.
Pour le ppmc: Les multiples de 48 sont: 48, 96, 144, 192, 240, 288, 336, 384… Les multiples de 84 sont: 84. 168, 252, 336, 420, 504… Les multiples communs de 48 et 84 sont: 336, 672, 1008… Le ppmc de 48 et 84 est: 336.
Vérification: 48×84= 4 032 et 12×336= 4 032
À vous de travailler maintenant, essayez:
3- On donne deux nombres: A= 24 x 52 x 11 x 172 et B=22 x 5 x 7 x 13Formez leur p.g.c.d et leur p.p.m.c sous forme de produit de facteurs.
4- Trouvez 5 multiples communs les plus simples de:
a) 12 et 18
b) 14 et 21
c) 210 et 330
d) 12, 35 et 48
e) 24, 30 et 60
5- Trouvez le p.p.m.c et le p.g.cd des nombres:
a) 99 et 113
b) 108 et 144
d) 348 et 522
e) 360 et 252
c) 168 et 224
6- Quels sont les diviseurs communs aux nombressuivants:
a) 36 et 48
b) 350 et 750
c) 720 et 882
d) 72, 96, et 168
e) 24, 32 et 36
