Objectifs spécifiques:
1- Reconnaître et calculer un multiple et diviseur d’un entier naturel.
2- Décomposer un entier naturel en facteurs premiers.
Définition de Multiple
Somme et différence de deux multiples
Multiple d’un multiple
Définition de diviseur
Somme et différence de deux diviseurs
Diviseur d’un diviseur
Exercices Mathématiques Nouvelles page 16 et 17
A- Multiple d’un entier naturel
Définition:
On appelle multiple d’un entier naturel n tout nombre obtenu en multipliant n par un autre entier naturel. Exemple: 6 est un multiple de 2, car 6= 2 x 3; et 1 026 est un multiple de 3, car 1 026 = 3 x 342.
Formule fondamentale
Un nombre A est un multiple de l’entier naturel n s’il existe un entier naturel k tel que: A = k.n
Méthode de vérification
Pour vérifier qu’un nombre est multiple d’un entier naturel n, on peut diviser ce nombre par n ou utiliser les critères de divisibilité.
Remarques:
0 est multiple de tout nombre entier naturel: 0 = 0 x k
Tout nombre entier naturel est multiple de 1: n = 1 x n
Tout nombre entier naturel est multiple de lui- même:
n = n x 1
Somme et différence de deux multiples
Somme de deux multiples
La somme de deux multiples d’un même entier naturel est un multiple de cet entier naturel.
21 = 7 x 3
21 est un multiple de 7
49 = 7 x 7
21 + 49 = 70
49 est un multiple de 7
70 = 7 x 10, donc, 70 est un multiple de 7.
Différence de deux multiples
La différence de deux multiples d’un entier naturel est un multiple de cet entier naturel.
63= 7 x 9; 63 est un multiple de 7;
35= 7 x 5; 35 est un multiple de 7
63 - 35= 28
28= 7 x 4 donc 28 est un multiple de 7.
Ensembles des multiples d’un entier naturel Soit k un entier naturel, k.N et K.N* désignent respectivement l’ensemble des multiples de k et l’ensemble des multiples non nuls de k.
L’ensemble des multiples d’un entier naturel est illimité.
On le note:
M(k) = {x / x est un multiple de k)
Ex: 2 N = (0,2,4,6,8,….) désigne l’ensemble des multiples de 2.
Ou on peut le noter:
M(2) = (0,2,4,6, 8………}
5 N* = (5,10,15,20,….) désigne l’ensemble des multiples non nuls de 5.
(L’ensemble avec l’étoile c’est l’ensemble sans zéro).
Multiple d’un multiple
Tout multiple d’un multiple d’un nombre est un multiple de ce nombre
Exemple:
180 = 3 x 60;
180 est un multiple de 60;
60 = 10 x 6;
60 est un multiple de 10, donc: 180 est un multiple de 10
B- Diviseur d’un entier naturel
Définition:
Un entier naturel b non nul est un diviseur de l’entier a si et seulement si a est un multiple de b. On dit aussi que l’entier naturel non nul b divise a.
Phrases équivalentes:
Pour b non nul:
a est multiple de b
b est diviseur de a
a est divisible par b
Tout entier naturel non nul est un diviseur de 0.
Ex: 38 est un diviseur de 0 car 0 = 38 x 0.
Tout entier naturel non nul est un diviseur de lui-même.
Exemple: 24 est un diviseur de 24 car 24 = 24 x 1
1 est un diviseur de tout entier naturel.
Ex: 1 est un diviseur de 9 car 9= 9 x 1
Diviseur d’une somme ou d’une différence
Si un nombre naturel divise deux autres nombres naturels, il divise également leur somme et leur différence.
Exemples 1:
24 = 3 x 8; 3 est un diviseur de 24
36 = 3 x 12; 3 est un diviseur de 36
24 + 36 = 60
60 = 3 x 20; 3 est un diviseur de 60
Exemples 2:
48 = 6 x 8; 6 est un diviseur de 48
12 = 6 x 2; 6 est un diviseur de 12
48 – 12 = 36
36 = 6 x 6; 6 est un diviseur de 36
Ensemble des diviseurs d’un nombre
On note Dn l’ensemble des diviseurs de n. Cet ensemble comprend un nombre fini d’éléments, le plus petit étant 1, le plus grand étant n.
Dn = {xЄN / x est un diviseur de n}
Exemple:
D14 = {1, 2, 7, 14)
D36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36)
D11 = {1, 11)
Diviseur d’un diviseur
Tout diviseur d’un diviseur d’un nombre est un diviseur de ce nombre.
Exemple:
24= 12x2; 12 est un diviseur de 24
12= 3x4; 4 est un diviseur de 12
Donc: 4 est un diviseur de 24
Facteur d’un nombre
On appelle facteur d’un nombre, tout diviseur de ce nombre.
Exemple: les facteurs de 48 sont: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48.
Notons que l’ensemble des facteurs d’un nombre est égal à l’ensemble de ses diviseurs.
Propriétés
Si un entier naturel non nul divise un facteur d’un produit P, alors cet entier naturel divise le produit P.
Exemple: 420 = 12 x 35
12 et 35 sont les facteurs de 420
420 est un multiple de 12.
Tout diviseur de 12 divise donc 420
La multiplication dans N étant commutative.
Nous avons: 420 – 35 x 12
420 est un multiple de 35.
Tout diviseur de 35 divise donc 420.
Critères de divisibilité
Divisibilité par 8
Un nombre est divisible par 8 lorsque les chiffres représentant les centaines, les dizaines et les unités sont des zéros ou forment un nombre divisible par huit.
Exemple: 58136, 94000
Divisibilité par 25
Un nombre est divisible par 25, s’il se termine par 00 ou 25 ou 50 ou 75.
Exemple: 825, 1000, 375, 150
Divisibilité par 7
Pour savoir si un nombre est divisible par 7, enlever un multiple de 7 quelconque (par exemple 70, 700, 7000 ou encore 210 ou 3500), et chercher si le nombre restant est divisible par 7).
D-3500 = 63 (divisible par 7) Donc: 3563 est divisible par 7.
Divisibilité par 11
Pour savoir si un nombre est divisible par 11, évaluer la somme des chiffres d’ordre pair et la somme des chiffres d’ordre impair.
Si ces sommes sont égales ou diffèrent d’un multiple de 11, le nombre est divisible par 11.
Exemple:
C= 39 193
3+1+3=7
9+9= 18
18-7= 11, donc, C= 39193 est divisible par 11.
N.B: La technique pour la divisison par 7 est applicable pour tout autre diviseur.
Essayez 13, 17, 19, 23, 29….. jusqu’à ce que le nombre restant à diviser soit le plus petit que le diviseur essayé.
Exercices
1- Trouvez trois multiples de chacun des nombres suivants:
20 – 60 – 2142 – 100.
Pour 20:
- 20×1=20
- 20×2=40
- 20×3=60
Multiples de 20: 20, 40, 60
Pour 60:
- 60×1=60
- 60×2=120
- 60×3=180
Multiples de 60 : 60, 120, 180
Pour 2142:
- 2142×1=2142
- 2142×2=4284
- 2142×3=6426
Multiples de 2142: 2142, 4284, 6426
Pour 100:
- 100×1 =100
- 100×2 =200
- 100×3 =300
Multiples de 100100100: 100,200,300
Continuez ainsi pour trouver les autres multiples.
2- Parmi les nombres suivants trouvez ceux qui sont multiples de 25:
240 – 375 – 500 – 485.
Yl y a deux façons de vérifier:
- Multiplie 25 par d’autres nombres pour voir quel nombre parmi eux qui qu’on trouve.
- Divisez ces nombres par 25 pour voir s’il y a un nombre entier comme réponse et zéro comme reste.
240÷25= 9.6, donc 240 n’est pas multiples de 25.
375÷25= 15, donc 375 est un multiple de 25.
Continuez ainsi pour les autres
3- Soit M(n) l’ensemble des multiples d’un entier n, complétez par Є ou ∉ :
Les M(2) qui sont les multiples de 2 contiennent: 0,2, 4, 6, 8, 10, 12… et les autres nombres qu’on peut trouver en multipliant 2 par un autre nombre.
ainsi de suite: M(3): multiple de 3; M(4): multiple de 4…
a) 2 Є M(2); b) 2 Є M(2)
c) 6 Є M(6); d) 6 ∉ M(4) à vous de continuer…
c) 6 …… M(2) f) 6…… M(3)
g) 15 …… M(10) h) 15 …… M(12)
i) 40 …… M(2) j) 40…… M(3)
k) 40…… M(18) l) 40 …… M(20)
4- Définissez en extension les ensembles suivants.
A= {xЄM(4) / x est inférieur à 20}
A= {0, 4, 8, 12, 16}
B = {xЄM(6) / x est inférieur à 12}
B={0, 6} Continuez:
C= {x ЄM(5) / x est inférieur à 5}
D= {x ЄM(9) / x est compris entre 8 et 60}
5- Répondez par vrai ou faux.
a) Tous les entiers naturels sont des multiples de 1.
b) 36 est un multiple de 12. => Vrai
c) 4 est un diviseur de 78. => Faux
Continuez:
d) Tout nombre naturel est multiple de 0.
e) Tout entier naturel est un diviseur de 1.
6- Trouvez les cinq premiers multiples de chacun des nombres suivants:
10 - 5 - 20 - 150 - 54 - 7
10: 0, 10, 20, 30, 40.
5: 0, 5, 10, 15, 20.
Continuez ainsi
7- Déterminez l’ensemble des multiples de 13 inférieurs à 250, puis l’ensemble des multiples de 26 inférieurs à 250. Que constatez vous?
Ensemble des multiples de 13 inférieurs à 250: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117, 130, 143, 156, 169, 182, 195, 208, 221, 234, 247.
Ensemble des multiples de 26 inférieurs à 250: 26, 52, 78, 104, 130, 156, 182, 208, 234.
Je constate que tous les multiples de 26 figurent dans l’ensemble des multiples de 13. Cela s’explique parce que 26 est un multiple de 13 (26= 2×13).
L’ensemble des multiples de 26 est donc un sous-ensemble des multiples de 13.
Continuez a effectuer les autres exercices…
8- Parmi les entiers naturels suivants, indiquez ceux qui sont des multiples de 8, puis ceux qui sont des multiples de 19.
64 - 38 - 25 - 152 - 0 - 256 - 302 - 456 - 133 - 144 - 721 - 19 - 722
9- 1) Montrez sans effectuer de division que les entiers naturels: 157157, 157157157 sont des multiples de 157.
2) Dans chaque cas donnez le quotient exact par 157 de l’entier considéré.
10- Déterminez l’ensemble des diviseurs de 60. Puis celui de20.
11- Déterminez l’ensemble des diviseurs de 18, puis l’ensemble des diviseurs de 54. Que remarquez-vous?
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