Après avoir su résoudre les équations, maintenant, il est temps de mettre en pratique ces connaissances en abordant une série de problèmes qui nécessitent l’utilisation des équations. En appliquant les méthodes apprises précédemment, nous pouvons analyser les situations données, identifier les inconnues et formuler des équations qui représentent les relations entre les différentes quantités impliquées.
En résolvant ces problèmes, nous affinons notre capacité à utiliser les mathématiques comme un outil puissant pour résoudre des problèmes du monde réel, tout en développant notre pensée logique et notre capacité à formuler des stratégies efficaces.
Passons aux exercices à:
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Univers Mathématiques
D3. Voici un jeu: Imaginez un nombre, Lui ajoutez 5, Multipliez le résultat par 2, Ajoutez 6 Ajoutez le nombre imaginé deux fois, Divisez le résultat par 4, Ajoutez 10, Retranchez 14.Quel nombre obtient-on?a) Jouer avec plusieurs nombres.b) Expliquer le résultat.
Pour jouer avec ce jeu, prenons un nombre imaginaire, par exemple, 10:
- Ajouter 5 à 10, cela donne 15.
- Multiplier le résultat par 2, ce qui donne 30.
- Ajouter 6, ce qui donne 36.
- Ajouter le nombre imaginé deux fois, donc 36 + 10 + 10 = 56.
- Diviser le résultat par 4, ce qui donne 14.
- Ajouter 10, ce qui donne 24.
- Retrancher 14, ce qui donne 10.
Donc, si nous avons choisi 10 au départ, nous obtenons 10 à la fin.
Maintenant, regardons pourquoi cela fonctionne :
- Ajouter 5 puis multiplier par 2 est une étape pour doubler le nombre initial (10).
- Ajouter 6 est une étape fixe qui ne change pas la proportion du nombre.
- Ajouter le nombre imaginé deux fois (10 + 10) revient à ajouter 20 au total.
- Diviser par 4 divise simplement le nombre par 4.
- Ajouter 10 ajoute 10 au total.
- Retrancher 14 compense les étapes précédentes et ramène le résultat au nombre initial.
Ainsi, quel que soit le nombre initial choisi, le résultat final sera toujours ce nombre initial. C’est un résultat intéressant qui peut sembler contre-intuitif au début.
D4. Quand on augmente un nombre de deux, son carré augmente de 7. Quel est ce nombre et quel est son carré?
Pour résoudre ce problème, nous pouvons définir le nombre comme 𝑥. L’énoncé nous dit que lorsque nous augmentons ce nombre de deux, son carré augmente de 7. Donc, si nous augmentons 𝑥 de 2, le carré de 𝑥 augmente de 7.
Mathématiquement, cela peut être représenté par l’équation : (x+2)² = x²+7
En développant (𝑥+2)², nous obtenons 𝑥²+4𝑥+4. Maintenant, nous pouvons écrire l’équation complète :
𝑥²+4𝑥+4 = 𝑥²+7
Groupons et réduisons: 𝑥²-𝑥²+4𝑥 = 7-4 => 4𝑥 = 3 Tirons x: x= 3/4 ou x= 0.75
Donc, le nombre est: 0.75 et son carré est 0.5625
Vérifions maintenant si lorsqu’on ajoute 2 sur 0.75, son carré qui est 0.5625 va augmenter de 7.
2.75 au carré = 0.5625 + 7? => 2.75² = 7.5625 et 0.5625 + 7 = 7.5625
La réponse est vérifiée, donc, le nombre est: 0.75.
D5. En retranchant un nombre entier au numérateur de la fraction 7/9 et en ajoutant le même nombre à son dénominateur, on obtient 1/3. Quel est ce nombre entier?
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les informations données sur la fraction 7/9 et la fraction résultante 1/3.
Soit x le nombre entier que nous retranchons au numérateur et ajoutons au dénominateur.
Nous avons initialement la fraction 7/9. Après avoir retranché x du numérateur et ajouté x au dénominateur, nous obtenons 7-x/9+x.
On nous dit que cette fraction est égale à 1/3. Donc, nous pouvons écrire l’équation :
7−x/9+x=1/3
Pour résoudre cette équation, nous allons la résoudre en utilisant la méthode de substitution ou d’égalisation des coefficients.
Multiplions les deux côtés de l’équation en inversant la deuxième, nous obtenons: 3(7-x) = 1(9+x)
En développant cette équation, nous obtenons :
21−3x = 9+x
Groupons les termes semblables: -3x-x = 9-21 => -4x = -12 => x= -12/(-4) => x=3
Donc, le nombre entier que nous retranchons du numérateur et ajoutons au dénominateur est 3.
Vérification: au fraction 7/9, retranche 3 au numérateur et ajoute 3 au dénominateur, on a: 4/12, simplifions le fraction par 4, on a: 4 divisé par 4 égale à 1 (pour le numérateur) et 12 divisé par 4 égale à 3 (pour le dénominateur), ce qui donne: 1/3.
D6. Trouvez une fraction équivalente à 7/5 dont la différence des termes soit 36.
Pour trouver une fraction équivalente à 7/5 dont la différence des termes soit 36, nous allons utiliser les propriétés des fractions équivalentes.
La fraction 7/5 peut être représentée comme 7x/5x, où x est un nombre quelconque autre que zéro.
Pour obtenir une fraction dont la différence des termes soit 36, l’équation :
7x−5x=36
En simplifiant :
2x= 36 => x=36/2 => x=18
d’où 7x/5x= 7(18)/5(18) => 126/90
La fraction équivalente à 7/5 dont la différence des termes est égale à 36 est: 126/90.
Vérifions: 126/90 est elle équivalent à 7/5? divisons les deux membres par: 18 => 126 divisé par 18 est égale à 7 et 90 divisé par 18 est égale à 5.
La différence des termes est elle égale à 36? posons: 126-90= 36.
D7. Dans un nombre de deux chiffres, le chiffres des dizaines est le double du chiffre des unités. Si on change l’ordre des chiffres, le nombre diminue de 36. Quel est ce nombre?
Pour résoudre ce problème, définissons le nombre de deux chiffres comme « x et y », où x est le chiffre des dizaines et y est le chiffre des unités.
D’après l’énoncé, le chiffre des dizaines est le double du chiffre des unités. Cela peut être écrit comme x = 2y (équation 1)
Si on change l’ordre des chiffres, le nombre diminue de 36.
Ce nombre est supérieur à 36, donc ce nombre est 63.
Lorsqu’on change les la place des chiffres, il devient 36 et 63-36= 36.
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Mathématiques Nouvelles
33. J’ai 10 ans et mon père 36 ans. Dans combien d’année l’âge de mon père sera-t-il le triple du mien?
Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser des équations. L’âge de père est 36 et le mien 10. Nous cherchons à savoir dans combien d’années l’âge de mon père sera le triple du mien.
Désignons le nombre d’année par x.
En utilisant les valeurs que nous avons, nous pouvons écrire cette équation :
36+x = 3(10+x)
Maintenant, résolvons cette équation pour trouver x, ce qui nous dira dans combien d’années cela se produira.
36+x = 30+3x
36−30 = 3x-x
6 = 2x
x = 3
Donc, dans 3 ans, l’âge de mon père sera le triple du mien.
Vérifions ensemble: Dans 3 ans, j’aurai 10 + 3 = 13 ans, et mon père aura 36 + 3 = 39 ans.
39/3= 13. Donc, l’âge de mon père sera 3 fois du mien.
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